Final Topología Obsidian
Apuntes para final de topología
Apuntes para final de topología

Proposición. Existencia y unicidad de topologías iniciales.
...

Sea un espacio topológico, un conjunto y . Entonces existe una única topología para X tal que para todo espacio topológico y para toda función equivalen:

  1. es continua
  2. es continua

Primera composición.png

Definición: Topología subespacio
...

Sea un espacio topológico y sea . Podemos considerar con la topología (sí, es una topología)

Afirmamos que
  1. La función es inicial.
  2. es un subconjunto cerrado de sí y solo sí la función es cerrada
  3. es un subconjunto abierto de sí y solo sí la función es abierta|

    Demostración

Topología inicial, familia de funciones iniciales
...

Sea un conjunto y sean una familia de espacios topológicos. Sea una familia de funciones. Entonces existe una única topología para tal que cumple las siguiente propiedad:

Para todo espacio topológico , y para toda función equivalen:
  1. es continua
  2. es continua

Además, para este espacio topológico, las funciones son todas continuas

imagencomposicionfamiliafinal.png

Esta proposición es más general que la anterior, tendría que haber empezado por esta.

Definición: Topología producto
...

Sea una familia de espacios topológicos. Consideramos el conjunto con la topología inicial dada por las funciones proyección donde

En otras palabras, podemos pensar en curvas: Una curva es continua si y solo sí todas sus coordenadas son continuas.

Proposición: Caracterización de la topología producto en términos de abiertos.
...

Sea una familia de espacios topológicos. Sea el espacio producto. Entonces es la topología generada por

Ejemplo de juguete: Topología producto.
...

Consideremos con la topología discreta (). Consideremos con la topología producto, . Notemos que no es la topología discreta.

Topología caja
...

Sea una familia de espacios topológicos. Definimos como topología caja a la topología para a la topología generada por

Observación: La topología caja es más fina que la topología producto.
...

Sea una familia de espacios topológicos. Sean las topologías producto y caja, respectivamente, para . Entonces

Lema del pegado (cerrados)
...

Sean espacios topológicos. Supongamos que son cerrados de tales que . Entonces, dada una función equivalen

  1. es continua
  2. es una función continua (donde vemos a con la topología subespacio)

Lema del pegado (abiertos )
...

Sean espacios topológicos y sea una familia de abiertos de tales que Entonces si es una función equivalen

  1. es continua
  2. Para todo , la función es continua (donde vemos a con la topología subespacio)

Topología final, familia de funciones finales.
...

Sea una familia de espacios topológicos. Sea un conjunto y sea un conjunto de funciones. Entonces existe una única topología para , , tal que para toda espacio topológico y toda función equivalen

  1. es continua
  2. Para todo , es continua

C003.jpg

Además, la topología se puede describir como

Definición: Topología cociente
...

Sean espacios topológicos. Decimos que es un cociente de si existe una función final y sobreyectiva.

Definición: Conjunto saturado
...

Sean conjuntos. Sea .

Siempre vale que

Si además , entonces decimos que es saturado.

Caracterización de cocientes según abiertos saturados.
...

Sean espacios topológicos. Entonces dada una función sobreyectiva y continua, equivalen

  1. es cociente
  2. Para todo abierto saturado , .

Caracterización de cocientes según cerrados saturados.
...

Sean espacios topológicos. Entonces dada una función sobreyectiva y continua, equivalen

  1. es cociente
  2. Para todo cerrado saturado , es cerrado saturado.

Propiedad universal del cociente
...

Sean espacios topológicos tales que hay una función que resulta ser un cociente. Entonces si es un espacio topológico y es una función que respeta el cociente

entonces existe una única función continua tal que
C004.jpg

Table Of Contents

Funciones iniciales y finales, subespacios, producto y cociente

Proposición. Existencia y unicidad de topologías iniciales.

Definición: Topología subespacio

Topología inicial, familia de funciones iniciales

Definición: Topología producto

Proposición: Caracterización de la topología producto en términos de abiertos.

Ejemplo de juguete: Topología producto.

Topología caja

Observación: La topología caja es más fina que la topología producto.

Lema del pegado (cerrados)

Lema del pegado (abiertos )

Topología final, familia de funciones finales.

Definición: Topología cociente

Definición: Conjunto saturado

Caracterización de cocientes según abiertos saturados.

Caracterización de cocientes según cerrados saturados.

Propiedad universal del cociente