Proposición. Existencia y unicidad de topologías iniciales.
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Sea un espacio topológico, un conjunto y . Entonces existe una únicatopología para X tal que para todo espacio topológico y para toda función equivalen:
Sea un conjunto y sean una familia de espacios topológicos. Sea una familia de funciones. Entonces existe una única topología para tal que cumple las siguiente propiedad:
Para todo espacio topológico , y para toda función equivalen:
es continua
es continua
Además, para este espacio topológico, las funciones son todas continuas
Sea una familia de espacios topológicos. Sea un conjunto y sea un conjunto de funciones. Entonces existe una única topología para , , tal que para toda espacio topológico y toda función equivalen
Sean espacios topológicos tales que hay una función que resulta ser un cociente. Entonces si es un espacio topológico y es una función que respeta el cociente
entonces existe una única función continua tal que